MATEMÁTICA - Cônicas

(UEA-AM) Na figura, o segmento , que mede 12cm, tangencia os círculos de centros O e O’, cujas áreas são, respectivamente, 64π cm² e 16π cm², e o círculo β, cujo centro pertence ao segmento , tangencia os círculos de centro O e O’.

O comprimento do círculo β, em cm, é:

(Urca-CE) [...] O lugar geométrico de um ponto que se move no plano de modo que o quadrado de sua distância ao ponto (1, 4) é igual a sua distância ao eixo das abscissas é:

(Unicamp-SP) No desenho abaixo, que não está em escala, a reta y = 3x é perpendicular à reta que passa pelo ponto (2, 0). O ponto de interseção dessas retas é A.

A equação da circunferência com centro em A e tangente ao eixo x é dada por:

(FGV-SP) Uma circunferência de raio 3, situada no 1^o quadrante do plano cartesiano, é tangente ao eixo y e à reta de equação y = x. Então, a ordenada do centro dessa circunferência vale:

(UCS-RS) Uma partícula move-se ao longo de uma trajetória circular de raio 1,0 cm. O movimento é referenciado por um sistema de eixos cartesianos, cuja origem coincide com o centro do círculo. Quando a partícula passa pelo ponto (x, y) do primeiro quadrante, em que x = 0,6, o valor de y é:

(Urca-CE) Sabe-se que a circunferência de equação x² + y² - 4x - 6y + 11 = 0 está inscrita no quadrado ABCD. Calcule a medida da diagonal desse quadrado.

(Uece) Se c é um número real positivo, a equação |x| + |y| = c é representada no sistema cartesiano usual por um quadrado Q. 

Se Q é circunscrito à circunferência x² + y² = r², então a relação  é igual a:

(UEM-PR — Adaptado) Dados números inteiros p e q de forma que a fração  seja irredutível, e considerando um sistema de coordenadas cartesianas xOy, o círculo de centro no ponto  e raio  é chamado de círculo de Ford e é representado por C[p, q].

Com base no exposto, assinale o que for (V) verdadeiro ou (F) falso .

01. A área de C[p, q] é  .
02. Nenhum círculo de Ford tangencia o eixo das abscissas.
04. A equação cartesiana da circunferência que delimita C[1, 2] pode ser escrita como x² + y² - x -  = -.
08. Se dois círculos de Ford, com centros nos pontos M e N, com M ≠ N, são tangentes no ponto T, então, os pontos M, N e T são colineares.
16. Os círculos C[1, 2] e C[1, 3] são tangentes entre si.

(Unesp) A figura mostra a representação de algumas das ruas de nossas cidades. Essas ruas possuem calçadas de 1,5 m de largura, separadas por uma pista de 7 m de largura.

Vamos admitir que:
I. os postes de iluminação projetam sobre a rua uma área iluminada na forma de uma elipse de excentricidade 0,943.
II. o centro dessa elipse encontra-se verticalmente abaixo da lâmpada, no meio da rua.
III.o eixo menor da elipse, perpendicular à calçada, tem exatamente a largura da rua (calçadas e pista).
Se desejarmos que as elipses de luz se tangenciem nas extremidades dos eixos maiores, a distância, em metros, entre dois postes consecutivos deverá ser de aproximadamente:
Dado: 0,943²0,889 e  0,333

(ESPM-SP) A circunferência de equação (x + 1)² + (y - 1)² = 1 tangencia os eixos coordenados nos pontos A e B. A circunferência λ, de centro C, passa pelo ponto B e tangencia o eixo das abscissas no ponto D.

Se os pontos A, B e C estão alinhados, podemos concluir que a abscissa do centro C é igual a:

(UFPB) A secretaria de infraestrutura de um município contratou um arquiteto para fazer o projeto de uma praça. Na figura a seguir, está o esboço do projeto proposto pelo arquiteto: uma praça em formato retangular medindo 80 m × 120 m, onde deverá ser construído um jardim em forma de elipse na parte central.

Estão destacados na figura os segmentos AC e BD que são, respectivamente, o eixo maior e o menor da elipse, bem como os pontos F₁ e F₂, que são os focos da elipse onde deverão ser colocados dois postes de iluminação.

Com base nessas informações, conclui-se que a distância entre os postes de iluminação será, aproximadamente, de:

(UEL-PR) Existem pessoas que nascem com problemas de saúde relacionados ao consumo de leite de vaca. A pequena Laura, filha do Sr. Antônio, nasceu com este problema. Para solucioná-lo, o Sr. Antônio adquiriu uma cabra que pasta em um campo retangular medindo 20 m de comprimento e 16 m de largura. Acontece que as cabras comem tudo o que aparece à sua frente, invadindo hortas, jardins e chácaras vizinhas. O Sr. Antônio resolveu amarrar a cabra em uma corda presa pelas extremidades nos pontos A e B que estão 12 m afastados um do outro. A cabra tem uma argola na coleira por onde é passada a corda, de tal modo que ela possa deslizar livremente por toda a extensão da corda. [...]

Qual deve ser o comprimento da corda para que a cabra possa pastar na maior área possível, dentro do campo retangular?

(UEA-AM) Na figura, tem-se que o segmento AB é um diâmetro da circunferência de centro O, r é a reta que contém esse diâmetro e s é uma reta paralela a r e tangente à circunferência em P.

(figura fora de escala)

Dado que AB mede 6 cm, a medida do segmento PB, em centímetros, é:

Em uma moldura com formato elíptico deve-se ser instalado, no seu interior, o maior refletor circular possível com centro coincidente com o da moldura. Para isso, um engenheiro de produção conseguiu a relação que dá origem ao contorno dessa moldura, que é 9x² + 4y² − 18x − 16y = 11.

No mesmo eixo de coordenadas a equação que melhor representa a circunferência do refletor circular é:

(Uece) Se a reta r, tangente à circunferência x² + y² = 1 no ponto (, ),intercepta a parábola y = x² + 1 nos pontos (x₁, y₁) e (x₂, y₂), então x₁ + x₂ é igual a:

(Fuvest-SP) No plano cartesiano Oxy, a circunferência C é tangente ao eixo Ox no ponto de abscissa 5 e contém o ponto (1, 2). 

Nessas condições, o raio de C vale:

(Unesp) Suponha que um planeta P descreva uma órbita elíptica em torno de uma estrela O, de modo que, considerando um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, sendo a estrela O a origem do sistema, a órbita possa ser descrita aproximadamente pela equação  = 1, com x e y em milhões de quilômetros.

A figura representa a estrela O, a órbita descrita pelo planeta e sua posição no instante em que o ângulo PÔA mede .

A distância, em milhões de km, do planeta P à estrela O, no instante representado na figura, é:

(UEL-PR) O vértice, o foco e a reta diretriz da parábola de equação y = x² são dados por:

(UFT-TO) Considere  o conjunto dos números reais e b . Encontre os valores de b, tais que, no plano cartesiano xy, a reta y = x + b intercepta a elipse  + y² = 1 em um único ponto.

A soma dos valores de b é:

Uma maneira prática de se traçar uma elipse consiste em amarrar um barbante em dois pregos, esticar o barbante com um lápis e traçar uma curva limitada pelo barbante, sempre esticado, como sugere a figura a seguir.

Considere que as duas partes retilíneas do barbante (desprezando-se o comprimento usado para o nó e a circunferência do prego), somem 10 cm e a distância entre os pregos seja de 6 cm. Tomando-se o eixo das abscissas do plano cartesiano, sobre a horizontal tracejada e o eixo das ordenadas, passando pelo ponto médio do segmento determinado pelos pregos na horizontal, a equação que melhor define essa elipse é:

(Fuvest-SP) Considere, no plano cartesiano Oxy, a circunferência C de equação (x - 2)² + (y - 2)² = 4 e sejam P e Q os pontos nos quais C tangencia os eixos Ox e Oy, respectivamente. Seja PQR o triângulo isósceles inscrito em C, de base PQ, e com o maior perímetro possível. 

Então, a área de PQR é igual a:

(PUC-RS) O comprimento da curva de equação (x - 1)² + (y + 1)² - 9 = 0 é:

(UCB-DF) A área interna de uma elipse de semieixos a e b é dada por A = πab. Considere as duas curvas dadas pelas equações (e) x² + 4y² - 36 = 0 e (q) 3x² + 3y² + 12x - 11 = 0, adote π = 3 e calcule a área que é interna a uma delas e externa à outra [...], desprezando, se houver, a parte decimal do resultado final.

(ITA-SP) Dada a cônica λ: x² - y² = 1, qual das retas abaixo é perpendicular à λ no ponto P = (2, )?

(Unimontes-MG) O gráfico da equação x² - 4y² = 0 é:

(UCPel-RS) O centro e o raio da circunferência x² + y² - 10y - 24 = 0 são, respectivamente:

(UCB-DF) Considere as figuras dadas no plano cartesiano pelas equações e₁: x = y; e₂: x² + y² = 25; e e₃: x + y - 5√2 = 0.

Em relação às figuras representadas por essas equações no plano cartesiano, julgue os itens a seguir, assinalando (V) para os verdadeiros e (F) para os falsos.
a) e₁ representa uma hipérbole no plano cartesiano.
b) A equação e₂ representa, no plano cartesiano, uma circunferência cujo raio vale 5.
c) Não há ponto de interseção entre as figuras dadas por e₁ e e₂.
d) As figuras dadas por e₁ e e₃ são paralelas.
e) Há pelo menos dois pontos distintos de interseção entre as figuras dadas por e₂ e e₃.

(Uece) Uma circunferência, cujo centro está localizado no semieixo positivo dos x, é tangente à reta x + y = 1 e ao eixo dos y.

A equação desta circunferência é:

(Unisc-RS) A equação x² + Ay² + Bxy + 2x - 4y + C = 0 representa uma circunferência cujo diâmetro mede 10 unidades de distância. Esta afirmação nos permite determinar o valor dos coeficientes reais A, B e C e também garantir que a expressão A - B - C é igual a:

(UPE) Sejam dois números reais x e y que satisfazem a relação x² + y² = 16. Sobre isso, analise os itens a seguir.

I. Existem apenas dois pares de números reais x e y, tais que x + y = 4.
II. Existem infinitos pares de números reais x e y, tais que x - y = 4.
III.Existem apenas três pares de números reais x e y, tais que x + y = 4 e x - y = 4.
Somente está correto o que se afirma em:

(Fuvest-SP) A circunferência dada pela equação x² + y² - 4x - 4y + 4 = 0 é tangente aos eixos coordenados x e y nos pontos A e B, conforme a figura.

O segmento MN é paralelo ao segmento AB e contém o centro C da circunferência. É correto afirmar que a área da região hachurada vale: