MATEMÁTICA - Poliedros

(UEM-PR) Uma caixa com tampa possui a forma de um cilindro circular reto, com altura de 10 cm e a base com diâmetro medindo o triplo da altura. Essa caixa será preenchida com esferas idênticas que possuem o maior volume possível e de modo que uma das esferas tangencie o centro do disco que forma o fundo da caixa.

Com base nessas informações, assinale a(s) alternativa(s) correta(s), indicando a soma dos números associados às alternativas corretas.

01. O volume da caixa é de 2 250π cm³.
02. O volume de cada esfera é de π cm³.
04. A caixa conterá 13 esferas.
08. O volume livre restante na caixa, após a colocação das esferas, é de π cm³.
16. Seja C a esfera no centro da caixa e C₁ uma esfera tangente a C, o volume da região interna da caixa determinada por dois planos, ambos tangentes a C₁ , que contenham o eixo do cilindro (caixa), é de 750π cm³.

(PUC-SP) Um artesão dispõe de um bloco maciço de resina, com a forma de um paralelepípedo retângulo de base quadrada e cuja altura mede 20 cm. Ele pretende usar toda a resina desse bloco para confeccionar contas esféricas que serão usadas na montagem de 180 colares. Se cada conta tiver 1 cm de diâmetro e na montagem de cada colar forem usadas 50 contas, então, considerando o volume do cordão utilizado desprezível e a aproximação π = 3, a área total da superfície do bloco de resina, em centímetros quadrados, é:

( Enem 2017 ) Uma rede hoteleira dispõe de cabanas simples na ilha de Gotland, na Suécia, conforme Figura 1. A estrutura de sustentação de cada uma dessas cabanas está representada na Figura 2. A ideira é permitir ao hóspede uma estada livre de tecnologia mas conectada com a natureza.

A forma geométrica da superfície cuas arestas estão representadas na Figura 2 é:

(FGV-SP) Um cubo de aresta 12 cm é seccionado duas vezes, formando três prismas de bases triangulares, sendo dois deles congruentes, como mostra a figura 1.

Em seguida, o cubo é novamente seccionado, como indicam as linhas tracejadas na figura 2, de modo que os dois cortes feitos dividem o cubo original em três prismas de bases triangulares, sendo dois deles congruentes, como no primeiro caso. Ao final de todas as secções, o cubo foi dividido em nove peças.

O volume da peça final que contém o vértice P, em cm3, é igual a:

(Unicamp-SP) Um queijo tem o formato de paralelepípedo, com dimensões 20 cm × 8 cm × 5 cm. Sem descascar o queijo, uma pessoa o divide em cubos com 1 cm de aresta, de modo que alguns cubos ficam totalmente sem casca, outros permanecem com casca em apenas uma face, alguns com casca em duas faces e os restantes com casca em três faces.

Nesse caso, o número de cubos que possuem casca em apenas uma face é igual a:

(PUC-PR) Num determinado dia foram registrados 10 mm de precipitação pluviométrica (chuva) no município de Curitiba, cuja área é de 435 km2. Suponha que toda essa água seja armazenada numa caixa de base retangular cujos lados medem 15 m × 29 m.

A altura desse reservatório, em metros, será de:

(PUC-PR) Certa empresa fabrica latas cilíndricas de dois tipos, A e B. As superfícies laterais são moldadas a partir de chapas metálicas retangulares de lados a e 2a, soldando lados opostos dessas chapas. Observe a ilustração abaixo:

Se V_A e V_B indicam os volumes das latas dos tipos A e B, respectivamente, tem-se:

(UCPel-RS) Em um paralelepípedo retângulo, somando duas a duas as suas dimensões se obtêm, respectivamente, 26 cm, 24 cm e 20 cm. Então, o volume desse paralelepípedo é:

Para montar um enfeite, Rafael decidiu recortar a planificação de algumas pirâmides de base quadrada em uma folha retangular de 60 cm de largura por 30 cm de altura. a planificação das pirâmides é dada por:

Tomando-se os centros das bases de duas pirâmides sempre alinhados e todas as arestas da pirâmide de mesma medida, o volume de uma dessas pirâmides vale:

(PUC-RS) O metrônomo é um relógio que mede o tempo musical (andamento). O metrônomo mecânico consiste num pêndulo oscilante, com a base fixada em uma caixa com a forma aproximada de um tronco de pirâmide, como mostra a foto.

Na representação abaixo, a é o lado da base maior, b é o lado da base menor e V é o volume do tronco de pirâmide ABCDEFGH.

Se a = 4b e P é o volume total da pirâmide ABCDI, então:

Um prisma reto retângulo serve de reservatório para armazenamento de água. Ele possui 5 m de altura e é abastecido por um fluxo de água constante de 5 m³/min, ficando completamente cheio em 3 horas e meia.

Por motivo de necessidade, esse reservatório será substituído por outro que tem formato de prisma reto triangular de mesma altura que o primeiro. Qual deverá ser a aresta da base desse novo reservatório para que ele esteja complemente cheio no mesmo tempo do anterior? 

Diego ganhou de presente um brinquedo que consistia de varetas de 1 cm e conectores diversos para as varetas. Usando todas as varetas e os conectores adequados, ele pôde construir um hexaedro de volume 125 cm³. Em outra ocasião, desmontou o hexaedro e montou um icosaedro também usando todas as varetas e conectores adequados.

Diego gostou tanto do icosaedro que resolveu colar um papel colorido em cada uma de suas faces. Considerando-se todos os sólidos regulares e a espessura das varetas e dos conectores desprezível, a área de papel que Diego precisa para colar em todas as faces do icosaedro construído, sem desperdício, é de:

(FGV-SP) Os centros das faces de um cubo de lado igual a 1 m são unidos formando um octaedro regular. O volume ocupado pelo cubo, em m³, e não ocupado pelo octaedro, é igual a:

(UEL-PR) Uma metalúrgica produz uma peça cujas medidas são especificadas na figura a seguir.

A peça é um prisma reto com uma cavidade central e com base compreendida entre dois hexágonos regulares [...].
Considerando que os eixos da peça e da cavidade coincidem, qual o volume da peça?

(UPE) Considere uma caixa de vidro, fechada, com formato de paralelepípedo, de dimensões internas 20 cm, 20 cm e 50 cm. Observa-se que a água existente no interior dessa caixa atinge a altura de 16 cm, quando uma face não quadrada está no plano horizontal.

Com base nesses dados, analise as afirmativas abaixo:
I. A área total do interior da caixa é igual a 4 800 cm².
II. O volume de água no interior da caixa é de 16 litros.
III.Se for alterada a posição da caixa, de modo que uma face quadrada fique no plano horizontal, então a altura do líquido será de 40 cm.
IV. A caixa de vidro tem a mesma capacidade de uma lata cilíndrica, com raio da base de 10 cm e altura de 50 cm, considerando π = 3.
Somente está correto o que se afirma em:

(UEM-PR — Adaptado) Alguns tipos de embalagens de bolas de tênis têm a forma de um cilindro, onde as bolas são colocadas umas sobre as outras. Considere uma embalagem contendo 4 bolas de tênis, cada bola com diâmetro de 6,4 cm, e suponha que a embalagem fechada seja um cilindro circular reto com diâmetro da base igual ao das bolas e cuja altura seja a soma dos diâmetros das 4 bolas.

Desprezando as espessuras das bolas e da embalagem, bem como quaisquer deformações nelas, e considerando π = 3, assinale o que for (V) verdadeiro ou (F) falso.

01. O volume da embalagem é menor do que 800 cm³.
02. Cada bola ocupa um espaço com volume menor do que 130 c.
04. A área de superfície de cada uma das bolas é menor do que 120 cm².
08. O volume do espaço livre, entre as bolas e a embalagem, é menor do que 280 cm³.
16. A área lateral da embalagem é maior do que 520 cm2.

(UEA-AM) A água contida em um reservatório com a forma de um prisma reto de base quadrada, de área igual a 16 m², ocupava 75% da sua capacidade total. Foram consumidos 14 400 litros, que correspondem a 30% dessa água. 

Desse modo, pode-se concluir que a altura desse reservatório, em metros, é igual a:

(Unimontes-MG) Um bloco de madeira, com a forma de um prisma reto retangular, foi serrado na parte superior e deu origem ao sólido da figura abaixo.

Com base nas informações da figura, o volume desse sólido é igual a:

(Unimontes-MG) Por uma pirâmide quadrangular regular passa um plano paralelo à base, o qual determina uma secção transversal de 20,25 m², cuja distância ao vértice é de 6 m. Se a altura da pirâmide é 8 m, a aresta da base mede:

Um reservatório em forma de pirâmide, com sua base apoiada no solo, é cheio por uma torneira localizada no vértice dessa pirâmide com vazão constante.

Se em 1 hora essa torneira encheu o reservatório até um quarto de sua altura, ela levará:

(Unesp) Há 4 500 anos, o imperador Quéops do Egito mandou construir uma pirâmide regular que seria usada como seu túmulo.

As características e dimensões aproximadas dessa pirâmide, hoje, são:

• sua base é um quadrado com 220 metros de lado;
• sua altura é de 140 metros.

Suponha que, para construir parte da pirâmide equivalente a 1,88 · 10⁴ m³, o número médio de operários utilizados como mão de obra gastava em média 60 dias. Dados que 2,2²· 1,4  6,78 e 2,26 ÷ 1,88  1,2 e mantidas estas médias, o tempo necessário para a construção de toda pirâmide, medido em anos de 360 dias, foi de, aproximadamente,

(Fuvest-SP) Na figura abaixo, o cubo de vértices A, B, C, D, E, F, G, H tem lado l.

Os pontos M e N são pontos médios das arestas  e  , respectivamente.

Calcule a área da superfície do tronco de pirâmide de vértices M, B, N, E, F, G.

(Unicap-PE) Classifique as afirmações em verdadeiro ou falso.

a) Dois triângulos que possuem os lados correspondentes proporcionais são semelhantes.
b) Todo quadrado é um losango.
c) Dois planos são secantes, quando têm apenas uma reta em comum.
d) Um poliedro convexo tem 14 arestas e 6 faces. A soma das medidas dos ângulos das faces desse poliedro é 3 660°.
e) Um prisma quadrangular regular tem 10 cm de aresta lateral e 6 cm de aresta da base; o seu volume é 360 cm³.

(UEM-PR) Considere um prisma reto cuja base é um pentágono não regular ABCDE, em que os lados AB e EA medem 10√2 cm, o lado CD mede 20 cm e os lados BC e DE são perpendiculares ao lado CD e têm metade da sua medida. Sabendo que a altura desse prisma é de 10 cm, assinale o que for correto.

01. A área lateral desse prisma mede 600√2 cm².
02. O volume do prisma é 3 000 cm³.
04. O prisma tem 7 faces retangulares.
08. A área total do prisma é 1 200 cm².
16. O prisma tem 10 vértices.

A soma dos números associados às alternativas corretas é:

(UTFPR) Um prisma pentagonal regular reto tem 15 cm² de área da base e 10 cm de altura. Dele foi retirada uma pirâmide de base inferior coincidente e metade da altura. O volume do sólido remanescente, em centímetros cúbicos, é:

Em um laboratório, existem testes de volume para embalagens e padronização de medidas. Foram enviadas para teste duas embalagens, uma de formato de um prisma retangular e outra com formato de pirâmide, ambas com mesma altura e deveriam ter o mesmo volume.

Ao avaliar essas embalagens, o laboratório constatou que o prisma, na realidade, tinha capacidade 10% maior que a da pirâmide. Assim, pode-se afirmar que ao compararem as bases desses sólidos: